В рамках теории уравнений леонтьевского типа рассмотрена математическая модель измерительного устройства, демонстрирующая эффект механической инерционности. При изучении модели с детерминированным внешним сигналом очень полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа и вырожденных групп операторов, поскольку они позволили создать эффективный вычислительный алгоритм. Теперь в модели предполагается наряду с детерминированным сигналом наличие белого шума. Поскольку модель представлена вырожденной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито – Стратоновича – Скорохода и Мельниковой – Филинкова –Альшанского, в которых белый шум понимается как обобщенная производная винеровского процесса. Вместо этого предлагается новая концепция «белого шума», равного симметрической производной в среднем (в статье – производной Нельсона – Гликлиха) винеровского процесса, причем подмечено, что в рамках теории Эйнштейна – Смолуховского данная производная совпадает с «обычной» производной броуновского движения. В первой части статьи собраны основные факты теории производной Нельсона – Гликлиха, адаптированные к рассматриваемой ситуации. Во второй – рассмотрена ослабленная задача Шоуолтера – Сидорова и даны точные формулы ее решения. В качестве примера приведена конкретная модель измерительного устройства.

уравнения леонтьевского типа, ослабленная задача Шоуолтера–Сидорова, симметрическая производная в среднем, виннеровский процесс

1. Шестаков, А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде модели датчика / А.Л. Шестаков // Метрология. – 1987. – № 2. – С. 26–34.
2. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 2003. – № 8. – С. 46–52.
3. Шестаков, А.Л. Коррекция динамической погрешности измерительного преобразователя линейным фильтром на основе модели датчика / А.Л. Шестаков // Изв. высш. учеб. заведений. Приборостроение. – 1991. – Т. 34, № 4. – С. 8–13.
4. Шестаков, А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя / А.Л. Шестаков // Известия РАН. Теория и системы управления. – 1995. – № 4. – С. 67–75.
5. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск. – 2010. – №16 (192), вып. 5. – C. 116–120.
6. Shestakov, A.L. Optimal measurement of dynamically distorted signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск. – 2011. – № 17 (234), вып. 8. – С. 70–75.
7. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 1. – C. 107–115.
8. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. – М: Физматлит, 2004.
9. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. – Utrecht; Boston; Ko¨ln; Tokyo: VSP, 2003.
10. Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программ / А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – Иркутск, 2011. – Т.4, №3. – С. 74–82.
11. Showolter – Sidorov problem (shosid problem): свидетельство 2010616865 / Келлер А.В.(RU); правообладатель ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет». – 210615137; заявл. 16.08.2010; зарегестр. 14.10.2010, Реестр программ для ЭВМ.
12. Ito, K. Essentials of Stochastic Processes (Translations of Mathematical Monographs, V. 231)/ K. Ito. – American Mathematical Society, 2006.
13. Stratonovich, R.L. Conditional Markov Processes and Their Applications to the Theory of Optimal Control / R.L. Stratonovich. – N.-Y.: Elsevier, 1968.
14. Скороход, А.В. Марковские процессы и вероятностные приложения в анализе / А.В. Скороход // Итоги науки и техники. Сер. Совр. проблемы математики. Фунда- мент. направления. – Т.43. – М.:ВИНИТИ, 1989. – С. 147–188.
15. Kova´cs, M. Introduction to stochastic partial differential equations / M. Kova´cs, S. Larsson // Proceedings of ≪New Directions in the Mathematical and Computer Sciences ≫, National Universities Commission, Abuja, Nigeria, October 8-12, 2007. Publications of the ICMCS. – V. 4. – 2008. – P. 159–232.
16. Melnikova, I.V. Abstract Stochastic Equations II. Solutions In Spaces Of Abstract Stochastic Distributions / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov, M.A. Alshansky // J. of Mathematical Sciences. – 2003. – V. 116, №5. – P. 3620–3656.
17. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. – Princeton: Princeton University Press, 1967.
18. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. – London; Dordrecht; Heidelberg; N.-Y.: Springer, 2011.
19. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера – Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – Иркутск, 2010. – Т.3, №1. – С. 51–72.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2012. № 27(286). С. 99–108. (Статьи)